数の分類 - 今日考えたこと

数には2種類あると考える。

①対象量管理数（あるいは、自然的数）

これは、整数と有理数のことで、元来は自然界に存在する事物の量を近似的に表すために使用される。

例えば、自然界に存在する事物、例えば動物の数とかリンゴを４つに切った場合に1/4個のリンゴが4つできるとか日数とか、を管理したい場合に使用される。動物も切ったリンゴも日々も、個々の事物の量が正確に同じであることはないので、この場合の量とは近似値だが、自然界に存在する具体的な事物の量を表して何らかの目的に利用するために数字が使用されていることが共通している。

②仮象量管理数（あるいは、人工的数）

これは、無理数と虚数のことで、人工的な事物の量を表すために使用する。

例えば、直角二等辺三角形の斜辺の長さは、二等辺の長さの√２倍になるという場合とか、円周率の大きさとか、自然対数の底の大きさなどのように、人類の頭の中にのみ存在する事物の大きさを表すのに使用される。

誤解を避けるためいちおう説明すると、円とか三角形のような幾何学上の事物は、人類が考え出した事物であり、自然界には存在しない。また、無理数は数直線上に無限個存在するので隙間がない連続性が保証される、という直感的な説明を数学の本でよく見かけるが、数直線は通常は紙の上に印刷や描画されているので、拡大すると穴だらけになり、実際は切れ目がたくさん存在する。

では、どこに隙間のない数直線が存在するのか？それは人類の思考の中に存在する。

言い換えると、仮想的な事物の量を管理するのに、無理数や虚数が有用な場合がある。

しかし、自然界の時間や空間の量は、どの数で表すべき量なのか？
実証を抜きにして人々の暗黙の合意に基づいて、時間や空間の大きさを表す量は無理数を含む実数で管理されているのが現状だが、果たして適切な管理なのか。

さらによく考えると、はたして時間や空間は自然界の事物だろうか、という疑問がカントの時代にすでにある。時間も空間も人類が考え出した仮想的事物ではないだろうか。ここは議論が分かれるところではある。